|
Заглавие | Дискретен модел на растеж на популация |
| Kлас | 11. клас, 12. клас | |
| Продължителност | 2 ч. | |
| Раздел | уравнения, фигури, функции, приложни | |
| Бележки | За динамичните файлове са необходими Java и/или Geogebra | |
| Спонсор | Фондация Еврика, Асоциация на индустриалния капитал в България | |
| Автор | Нели Димитрова |
Дискретен модел на растеж на популация
Целта на математическото моделиране е да предсказва как дадена система се развива във времето. Пример за такава система е биологична популация с начален брой от `x_{0}` индивиди. Основният въпрос, който си задават специалистите, е при дадено `x_{0}` какво може да се каже за поведението на популацията в дългосрочен план? Дали с изменението на времето популацията ще намалява и клони към нула, водейки до изчезване на вида? Или с времето популацията ще се увеличава неограничено, което означава пренаселване на даден район? Или популацията ще се изменя и колебае периодично или дори по-сложно (хаотично)?
Математически модел на растеж на една биологична популация наричаме правилото, което, приложено върху дадената популация, позволява да се предскаже нейното развитие във времето. Времето ще измерваме в конкретни единици `n = 0, 1, 2, . . . `(години, месеци, дни, часове, минути и т. н.). Размерът на популацията в момента n ще измерваме с броя на индивидите `y_{n}`.
Количеството на дадена популация зависи от множество фактори като например наличие на храна, място, климат, конкурентна борба и т. н., които най-общо ще наричаме жизнена среда.
Един от първите модели на развитие на дадена популация е предложен от белгийския математик Пиер Франсоа Верхълст (Pierre Fran ̧cois Verhulst) през 1845 г. Верхълст предполага, че жизнената среда може да поддържа максимално количество популация Y .
Ако размерът на популацията `y_{n}` в момента n е по-малък от Y , популацията ще расте; ако `y_{n}` е по-голямо от Y , популацията трябва да намалява. Да положим `z_{n}` = `y_{n}/Y` ; тогава за всяко n = 0, 1, 2, . . ., `z_{n}` ще се изменя между 0 и 1. Нека скоростта, с която популацията расте или намалява от момента `n` до следващия момент `n+1`, се дава с частното `(z_{n+1}-z_{n})/z_{n}` .
Верхълст предполага, че скоростта на растеж е пропорционална на `1-z_{n}`; последният израз може да се интерпретира като тази част от жизнената среда, която все още не е използвана от популацията до момента `n`. Въвеждайки коефициент на пропорционалност `q`, който не зависи от n, получаваме равенството `(z_{n+1}-z_{n})/z_{n}=q(1-z_{n})` .
следва