Началопредучилище числа 1 фигури 1 измерване числа 2 фигури 2 тела числа 3 фигури 3 функции преобразувания статистика приложни пъзели игри изкуство

Заглавие Призма с максимален обем (изрязана от кръг)
Kлас 9. клас, 10. клас, 11. клас, 12. клас
Продължителност 2 ч.
Раздел уравнения, фигури, функции, приложни
Бележки
Спонсор Фондация Еврика, Асоциация на индустриалния капитал в България
Автор Петър Кендеров, Тони Чехларова

 

 

От кръг с радиус 5 dm трябва да се изреже развивка, от която да се направи кутия без капак с форма на правилна n-ъгълна призма. Един вариант на изрязване за n = 5 е показан на фигурата. Намерете максималния обем на кутията за различни стойности на n.

Можете да направите модел.

 

 

ggb

 

Може да използвате аплета и да намерите отговор за конкретни стойности на n.

 

ggb

 

Проучете как е създаден файлът.

Без ограничение на общността може да се счита, че даденият кръг има за център началото на координатната система О. Като подвижен (динамичен) елемент в конструкцията се избира един от върховете на правилния n-ъгълник (точка D) и ще се счита, че този връх се движи по вертикалния радиус ОА . Един вариант за построяване на съответните правилни n-ъгълници е използване на образа на избраната точка D при ротация с център – центърът на дадената окръжност и ъгъл с мярка `(2 pi)/n`.

  • Създават се плъзгачи-параметри за радиуса на дадената окръжност, за радиуса `r_1` на окръжността, описана около правилния многоъгълник, който ще е основа на търсената призма без капак и за броя n на страните на основата.
  • Построява се окръжност c с център O и радиус r.
  • Построява се окръжност d с център O и радиус `r_1`, върху която се избира произволна точка D. Тя ще е връх на правилния n-ъгълник.
  • Построява се точка G като образ на D при ротация с център O и ъгъл `(2 pi)/n`.
  • Построява се правилен многоъгълник със страна DG и брой на страните n. Изчислява се лицето му.
  • Построява се перпендикуляр през точката D към DG, който пресича окръжността c в точка H. Отсечката DH ще представлява околен ръб на n-ъгълната призма.
  • Изчислява се обемът на призмата като произведение на лицето на основата по дължината на околния ръб.

С динамичния модел могат да се получат резултатите при изменение на всеки един от трите плъзгачи-параметри.

 

 

Друга възможност за решаване е да се изрази обемът на дадената правилна четириъгълна призма чрез:

а) основния му ръб

или

б) радиуса на дадената окръжност.

Ако обемът се изрази чрез основния ръб b, се получава

Във файла на адрес http://cabinet.bg/content/bg/html/d16167.html е  построена графиката на функцията и е изведен максимумът ѝ в интервал (0; 2r). За n = 3 и r = 5 се получава, че функцията има максимум в точката (6,21;35,5079) , т.е. максималният обем е 35,5079 кубични единици, с точност до десетохилядните, и той се постига, когато основата е равностранен триъгълник с дължина на страната 6,21 ед.

За решаването може да се използва и първата производна на функцията, т.е. пресечната точка на графиката ѝ с абсцисната ос. Потвърждава се полученият вече резултат, че при n = 3 и r = 5  максимум се достига при дължина 3,585 ед. на радиуса на описания около основата многоъгълник.