Началопредучилище числа 1 фигури 1 измерване числа 2 фигури 2 тела числа 3 фигури 3 функции преобразувания статистика приложни пъзели игри изкуство

Заглавие Конус с максимален обем и фиксирана образувателна
Kлас 9. клас, 10. клас, 11. клас, 12. клас
Продължителност 2 ч.
Раздел фигури, функции, приложни
Бележки За динамичните файлове се използва Geogebra и/или Java.
Спонсор Фондация Еврика, Асоциация на индустриалния капитал в България
Автор Петър Кендеров

 

Задача. От пластмасов кръгъл лист е изрязан и отстранен сектор с ъгъл α. От останалата част е направен отворен съд с форма на прав кръгов конус. При каква стойност на α обемът на получения съд е максимален, ако даденият лист има радиус 5 дм?

 

" width="700">

ggb

 

 

 

 

За получаване на отговор с точност до десетите можете да използвате следващия файл.

 

http://cabinet.bg/content/bg/ggb/d22507.ggb

Решение

Можем да подобрим точността на отговора по няколко начина. Един от тях е да увеличим точността на показване на десетичните дроби, например до 3 знака след десетичната запетая:

 

Отговорът, с точност до цялата част, е 66. За увеличаване на точността на резултата можем да построим плъзгач за ъгъл и да управляваме с него сектора, който изрязваме. Модифицираме файла:

  • Създаваме плъзгач за ъгъл със стъпка 0,01.
  • Построяваме ъгъл със зададена големина с точка C от едното рамо, връх A и мярка на ъгъл , в резултат на което се построява и точката  от второто рамо на ъгъла.
  • Предефинираме КръговСектор[A, B, C] на КръговСектор[A, C', C].

 

 

За решаването можете да използвате и следващия динамичен модел.

 

ggb

При решаване на такива задачи универсален метод е графичният, като се използва графика на функция и съответно графично решение на уравнение (неравенство, система).

Изразяваме обема на конуса като функция на ъгъла  на изрязания и отстранен сектор и получаваме

,

където l  е образувателната на конуса. До този резултат стигаме, като имаме предвид:

 .

Построяваме графиката на съответната функция и решаваме задачата графично.

Може да построим произволна точка от графиката на функцията, да я движим и наблюдаваме координатите й, когато е върху (приблизително върху) локалния максимум.

От чертежа се вижда, че функцията има два максимума. Само единият от тях е интересен за нас – този, на който абсцисата е между числата 0 и  2`pi`.  

 

ggb